Wednesday, March 14, 2012

Математика и естествознание. Часть II

или О программе Гильберта или математика на рубаже XX века

Рекомендую прочитать статью полностью тут. Форматирование моё.

Начало тут.
Для меня вера Гильберта в возможность свести математику к формальному языку кажется наивной, хотя мне очень симпатичны его стремление к объединению математики, его вера в единство математики со всем естествознанием. Гильбертова программа формализации математики выглядела внушительно, но однобоко.

См. также:
О бесконечном
Доказательность в математике



100 лет не исчезают из книг и статей ссылки на проблемы, объявленные Д.Гильбертом на втором Всемирном съезде математиков в 1901 году. У многих по этой причине складывается мнение, что Гильберт - всемирный гений, осветивший математикам путь на 100 лет вперед. Это, конечно, не так, но обзоров проблем, подобных Гильбертовскому, более не было.


Ниже есть продолжение.


Для того, чтобы понять, что именно сделал Гильберт и к чему это привело, нужно понять фон на котором этом было сделано. Поэтому углубимся немного в историю.

Эвклид и его геометрия
Геометрия, которую все мы учим в школе, называется эвклидовая геометрия. Эвклид изложил эту геометрию в его знаменитых "Началах". Неверно считать, что Эвклид придумал геометрию - она была известна до него как набор разрозненных фактов - он её просто систематические изложил - вывел всё геометрию из малого набора аксиом. Однако Эвклид был велик не тем, что что-то там формализовал, а тем, что объединил в одно целое многие знания. Объединил на единой основе и даже "в одном издании", - как сказали бы сегодня. Эта основа дала более компактное описание многочисленных знаний (т.е. он выполнил сжатие, архивацию знаний, - выражаясь языком программистов, плюс ее структуризацию: он разработал базу данных плюс ее минимизировал без потери информации). Он обеспечил наличие единых способов решения многих задач, ранее считавшихся разнородными и этим также сэкономил современникам мозговые усилия. В итоге он дал молодежи возможность знать то, что предыдущее поколение могло освоить только к старости. ВОТ ЧЕМ БЫЛ ВЕЛИК ЭВКЛИД. А вовсе не системой аксиом.

С того времени однако требования к строгости доказательства значительно выросли. Ведь прошло столетия со дня публикации "Начал". Пробелы в текстах Эвклида сделались нетерпимы. В 1899 году Гильберт предложил новую систему из 20 аксиом, среди которых явно не было ни одной лишней и (казалось) не было пробелов. Гильберт подчеркнул логическое совершенство своей конструкции шутливой фразой: "Справедливость аксиом и теорем ничуть не поколеблется, если мы заменим привычные термины "точка, прямая, плоскость" другими, столь же условными: "стул, стол, пивная кружка"!

Этот успех внушил Гильберту надежду, что в каждой области математики можно ввести полную и строгую систему из необходимых и достаточных определений и аксиом. Вывод всех прочих утверждений из этих основ можно будет формализовать так, что он станет доступен вычислительной машине. Правда, она будет медленно ползти к той цели, которой человеческий разум нередко достигает одним дерзким прыжком. Зато каждую догадку можно будет проверить медленно, но надежно.

Математическая логика.
Возникновение и быстрое развитие математической логика в начале XX века было связано с так называемым кризисом в основаниях математики. При любой попытке систематического изложения математики (как, впрочем, и любой другой науки) возникает проблема выбора начальных (исходных) понятий и принципов, которые будут положены в основу всего изложения. Проблема выбора и обоснование этого выбора исходных данных лежит, как правило, вне самой научной дисциплины и относится к философии и методологии научного познания. Систематизация математики в конце девятнадцатого века выявила, что весьма перспективным является использование понятия множества в качестве единственного исходного понятия для всей математики. Работами Б. Больцано, Р. Дедекинда и Р. Кантора была создана новая область математики — теория множеств, которая красотой и силой своих построений и перспективами использования ее в основаниях математики привлекла внимание многих ведущих математиков того времени. Однако высокая степень абстрактности и «универсальность» понятия множества не могли не привести к трудностям, хорошо и давно известным в философии при работе с «универсалиями». Проявилось это в появлении так называемых теоретико-божественных парадоксов.

Приведем один из теоретико-множественных парадоксов — парадокс Рассела. Для произвольного множества является осмысленным вопрос, «будет ли это множество своим собственным элементом». Примером множества, которое содержит само себя в качестве элемента, могло бы служить, например, множество всех множеств. Рассмотрим множество М всех множеств, для которых ответ на этот вопрос отрицателен. Спросим теперь, является ли это множество своим элементом? К своему удивлению обнаружим, что если ответ положительный, то имеем, что множество М не принадлежит самому себе, т. е. ответ должен (бы) быть отрицательным. Если же ответ отрицателен, то в силу определения множества М ответ должен быть положительным. Этот парадокс показывает, что если мы не хотим приходить к противоречиям, то необходимо (в частности) отказаться от приятной мысли, что любое осмысленное условие на элементы определяет некоторое множество. К счастью, такого рода парадоксы можно получить лишь с «большими» или «неестественными» множествами, без которых в математике можно вполне обойтись.

Появление таких парадоксов в теории множеств было воспринято многими математиками очень болезненно и поэтому привлекло к вопросам основании математики пристальное внимание практически всех ведущих математиков того времени (Д. Гильберт, А. Пуанкаре, Г. Вейль). Было предложено несколько программ «спасения» математики от «ужаса» парадоксов.

Программа Гильберта

Именно в этой обстановке к Гильберту прибыло предложение выступить с одним из основных докладов на втором международном конгрессе математиков в Париже в 1901 году. Открывающееся перед ним новое столетие манило, как чистый лист бумаги. Ему хотелось произнести речь, которая ответствовала бы важности этого события. Гильберт решает сделать доклад о будущем математики в двадцатом столетии. В своем знаменитом докладе Гильберт сформулировал 23 отдельные проблемы, решения которых, по его убеждению, сыграют важную роль в прогрессе математики в наступающем столетии. Первые шесть проблем относились к основаниям математики, к тому, что, по его мнению явилось великим достижением только что окончившегося столетия: открытие неевклидовой геометрии и прояснение арифметической природы континуума. В них сильно сказывалось влияние недавней работы по основаниям геометрии и его энтузиазм по поводу возможностей аксиоматического подхода. Другие проблемы были более специальны и индивидуальны, частью старые и хорошо известные, частью новые. Доклад Гильберта полностью захватил воображение всего математического мира. Его практический опыт давал основание надеется, что эти проблемы удовлетворяют сформулированным Гильбертом критериям великих математических проблем и что настанет время, когда они будут полностью решены. Его быстро растущая слава, уступавшая теперь лишь славе Пуанкаре, обещала всеобщее признание любому математику, который решит хотя-бы одну из парижских проблем.

Какие же задачи Гильберт считал тогда главными для математики? Во-первых, обоснование ее новых, бурно развивающихся ветвей: теории множеств, математической логики, теории чисел, алгебраической геометрии, функционального анализа. В каждой их этих областей Гильберт выделил одну-две задачи, наиболее просто формулируемые и трудные для решения. Таковы континуум-гипотеза и непротиворечивость арифметики, распределение простых чисел и трансцендентность числа е..., классификация непрерывных групп и разрешимость диофантовых уравнений.

Особняком стоит в списке Гильберта проблема 6: "Дать математическое изложение аксиом физики". Это ? прямое развитие программы Ньютона на пути великих успехов и неудач Максвелла, Планка и Эйнштейна. Гильберт не стал подробно излагать этот вопрос, будучи уверен: каждое крупное открытие в физике ставит перед математиками уйму новых красивых задач, и этому процессу конца не будет!

К концу XX века все эти задачи либо решены, либо доказана их неразрешимость. Но каждая решенная проблема породила букет новых проблем еще большей сложности и такой же красоты, так что Гильберт верно угадал самые перспективные точки роста на тысячелетнем древе математической науки.

Хотелось бы детально остановится на возможности аксиометизировать все разделы математики, cделать двузначную логику высказываний (вместе с правилами вывода и прочими наворотами) основой математики. Это так называемая программа Гильберта или программа финитарного обоснования математики. Суть этой программы состоит в попытке построения такой формализации математики, что средствами этой системы можно доказать свою собственную непротиворечивость. Другим требованием к такой формализации является условие, чтобы все простейшие, проверяемые непосредственно утверждения о натуральных числах были истинными в этой формализации. Работа над этой программой, как самого Гильберта, так и его учеников и последователей оказалась весьма плодотворной для математической логики, в частности, в разработке современного аксиоматического метода.

Теорема Гёделя о неполноте

В 1931 году молодой австриец Курт Гёдель доказал, что в любом нетривиальном языке (языке достаточно богатом, чтобы допускать формулировку результатоа классической арифметики) есть утверждения которые не возможно ни доказать, ни опровергнуть. Утверждения вроде континуум-гипотезы (не доказуемые и не опровержимые) найдутся в ЛЮБОЙ системе аксиом. Были они в системе Эвклида: таков "пятый постулат" о параллельных прямых. Есть они в теории множеств: такова "аксиома выбора", такова же континуум-гипотеза. Есть они даже в арифметике и впредь будут во всякой формальной модели любой из областей математики!

Таким образом, непротиворечивости нельзя достичь, используя инструменты, принадлежащие к той же формальной системе. Это было настоящее поражение программы Гильберта. Гёдель показал невозможность чисто синтаксического доказательства непротиворечивости формальной системы. Гарантию такой логической последовательности теперь стали искать в интерпретациях и моделях исчисления. (И слава богу, как говорится. Теперь компьютер, кажется, даст нам возможность применить формализацию там, где она действительно необходима, и избавит от позывов аксиоматизировать все насквозь).

Значит, надежда Гильберта на полную формализацию каждой области математики была ошибкой? Да, таков приговор природы; обжалованию он не подлежит. Но его можно воспринять и с оптимизмом: из теоремы Гёделя следует, что развитие любой области науки никогда не прекратится! Правда, для этого придется регулярно изобретать новые определения и аксиомы, вытекающие из существа дела. На это способен только человеческий мозг, но не компьютер. Гильберт это знал по опыту; поэтому он не только огорчался, но и радовался поразительному открытию Гёделя. Приятно, когда природа оказывается еще богаче, чем ты надеялся!

Мечта Лейбница ("не будем спорить - будем вычислять") в результате процесса формализации математики не получила развития: стало не о чем спорить не потому, что можно мысли вычислять, а потому что вычислять стало нечего и непонятно зачем. Идея объявить математику игрой разума, игрой в условности, оказалась не плодотворной, а разрушительной: стало понятно, что с чисто формальной точки зрения все цепочки теорем в математике сплошь дырявы. Массу предположений мы неявно делаем, когда что-то доказываем долго и протяжно. Причем сами не замечаем этого.

Программа Гильберта оказала однако большое влияние на математику. Многие её подразделы были перестроены под её влиянием. Можно сказать, что аксиоматизация благополучно превратилась в фетиш. Сегодня аксиоматизация наук часто не сопровождается никаким ее развитием, просто авторы аксиоматизации механически выполняют завет предка аксиоматизировать все подряд (точнее сказать - формализовать язык). А зачем надо было аксиоматизировать, - забыли (точнее сказать - забыли об этом задуматься).

http://www.spbstu.ru/publications/m_v/N_004/Sushkov/Purposes.XXI/index_full.html

No comments:

Post a Comment