Немного о числах

Бог создал целые числа, всё остальное - дело рук человека

(с) Леопольд Кронекер

На это можно остроумно ответить

По-моему иррациональные числа создал дьявол :-)

Если хотите узнать немного больше о том, что такое число, см. тут. Тут можно прочитать про первый кризис в основании математики

UPDATE 2026-05-27: LEGACY_SANDBOX_CAST

Ссылка на "первый кризис в основании математики" на 2026 год, к сожалению, уже не работает.

1. Целые числа и дискретная картина мира
Пифагорейцы считали, что мир устроен на основе целых чисел и их отношений — то есть рациональных чисел. Любую величину, по их представлению, можно было выразить через общую меру. Это была модель мира, построенная на дискретности и соизмеримости.

Бесконечность при этом понималась не как нечто существующее «целиком», а как потенциальный процесс: число можно бесконечно увеличивать или делить, но каждый отдельный шаг остается конечным.

2. Открытие несоизмеримости (Геометрический разрыв)
Открытие того, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной ($\sqrt{2}$), разрушило идею универсальной соизмеримости.
Важно отметить: это не было проблемой «бесконечного хранения данных». Проблема была логической: не существовало двух целых чисел $m$ и $n$, таких что отношение диагонали к стороне равнялось бы $m/n$.
m/n.
Благодаря аксиоме Архимеда-Евдокса и оснонванному на ней методу исчерпывания, древнегреческие математики могли работать с "действительными" величинами, приближаясь к ним сколь угодно близко через конечные шаги, не прибегая к понятию предела в современном анализе.

3. Решение кризиса: Теория пропорций Евдокса
Кризис был успешно преодолен внутри самой классической математики благодаря теории пропорций Евдокса (изложенной в V книге «Начал» Евклида).

* Евдокс отделил понятие числа (дискретного) от понятия величины (непрерывной).
* Он дал строгое определение равенства отношений для несоизмеримых величин, не используя само понятие числа для их выражения.
* Это позволило легитимно работать с геометрическими объектами (такими как $\sqrt{2}$), не нарушая логической стройности арифметики целых чисел.

Итог:
Первый кризис оснований математики был фундаментальным онтологическим разделением:

1. Арифметика осталась царством дискретных, соизмеримых единиц.
2. Геометрия стала наукой о непрерывных величинах, связанных через теорию пропорций.

Античная математика решила эту проблему, разведя эти области и построив строгую теорию пропорций. Такой подход оставался устойчивым вплоть до появления математического анализа в XVII веке, когда вопрос о бесконечно малых и непрерывности снова стал центральной проблемой математики.

END OF UPDATE